1. 数学补充知识
1.1 矢量的标积
两个矢量 \(\mathbf A,\mathbf B\) 的标积，书写和定义为
$$
\mathbf A \cdot \mathbf B = AB\cos\phi
$$
其中 \(\phi\) 是 \(\mathbf A\) 与 \(\mathbf B\) 间的夹角。
标积在力学中有着重要的应用，计算力的做功便是一例。质点在运动中的一段无限小的位移矢量若记为 \(\Delta\mathbf l\)，其间受力 \(\mathbf F\)，力 \(\mathbf F\) 在此过程中对质做的功 \(\Delta \mathbf W\) 定义为
$$
\Delta W = \mathbf F \cdot \Delta \mathbf l
$$
1.2 矢量的矢积
三维空间两个矢量 \(\mathbf A, \mathbf B\) 的矢积，书写和定义为
$$
\mathbf A \times \mathbf B = \mathbf C
$$
其中 \(C\) 的大小为 \(AB \sin \phi\) ，\(C\) 的方向或由右手系确定。在几何上 \(C\) 的值等于矢量 \(\mathbf A, \mathbf B\) 形成的平行四边形的面积。
矢积有些基本性质，如
$$
(\alpha \mathbf A)\times \mathbf B = \alpha(\mathbf A \times \mathbf B)
$$
$$
\mathbf A \times \mathbf B = - \mathbf B \times \mathbf A
$$
$$
(\mathbf A_1 + \mathbf A_2) \times \mathbf B = \mathbf A_1 \times \mathbf B + \mathbf A_2 \times \mathbf B
$$
矢积只能在 3 维空间中进行，矢积点行列式表达式
$$
\mathbf A \times \mathbf B = \left | \begin{matrix}
\mathbf i & A_x & B_x \\
\mathbf j & A_y & B_y \\
\mathbf k & A_z & B_z \\
\end{matrix} \right |
$$
在电学中，电量为 \(q\) 、速度为 \(v\) 的粒子在磁场中所受洛伦兹力可表述为
$$
\mathbf F = q \mathbf v \times \mathbf B
$$
其中 \(\mathbf B\) 是粒子所在处磁场的磁感应强度。
1.3 矢量的三重积
3 维空间中 3 个矢量间形如
$$
\mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C)
$$
的运算，称为矢量的三重标积，所得是个标量。从空间角度上，3 个不共面的矢量三重标积的绝对值，等于 3 个矢量构成的平行六面体体积。考虑到标积等于矢量分量乘积之和，结合矢积的行列式表述，可导得三重标积点行列式表述：
$$
\mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C) =
\begin{vmatrix}
A_x & B_x & C_x \\
A_y & B_y & C_y \\
A_z & B_z & C_z
\end{vmatrix}
$$
利用行列式的展开，进而可得三重标积点循环可交换性，既有
$$
\mathbf A \cdot (\mathbf B \times \mathbf C) = \mathbf B \cdot (\mathbf C \times \mathbf A) = \mathbf C \cdot (\mathbf A \times \mathbf B)
$$
3 维空间中 3 个矢量间形如
$$
\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)
$$
的运算，称为矢量的三重矢积，所得是个矢量。为了简化推导过程，在空间上沿着 \(\mathbf B\) 方向设置 x 轴，于是便有
$$
\begin{aligned}
\mathbf B &= B_x \mathbf i, \\
\mathbf C &= C_x \mathbf i + C_y \mathbf j \\
\mathbf A &= A_x \mathbf i + A_y \mathbf j + A_z \mathbf k
\end{aligned}
$$
\(\mathbf A, \mathbf B, \mathbf C\) 的三重矢积展开如下
$$
\begin{aligned}
&\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C) \\
=&(A_x\mathbf i + A_y\mathbf j + A_z \mathbf k) \times [(B_x\mathbf i) \times (C_x \mathbf i + C_y \mathbf j)] \\
=& (A_x\mathbf i + A_y\mathbf j + A_z \mathbf k) \times(B_xC_y\mathbf k) \\
=& -A_xB_xC_y \mathbf j + A_yB_xC_y\mathbf i \\
=& -A_xB_xC_y \mathbf j + A_yB_xC_y\mathbf i + A_xB_xC_x\mathbf i - A_xB_xC_x\mathbf j \\
=&(A_xC_x + A_yC_y)B_x\mathbf i -A_xB_x(C_x\mathbf i + C_y\mathbf j)
\end{aligned}
$$
既得
$$
\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)=(\mathbf A \cdot \mathbf C) \mathbf B - (\mathbf A \cdot \mathbf B) C
$$
1.4 微分
\(\text{d} x\) 是无穷小量，但不是零。在连续区域内，自变量增量取微分 \(\text{d}x\) 时，函数增量称为函数微分，记为 \(\text{d}y\)，它也是无穷小量，两者之间的关系为
$$
\text{d}y = y(x + \text{d}x) - y(x)
$$
1.5 微商（导数）
自变量微分去除函数对应的微分，称为函数的微商，记作
$$
y’(x) = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}
$$
1.5.1 函数泰勒展开
导数可以用来将函数展开成幂级数的形式。
$$
y(x) = A_0 + A_1(x - x_0) + A_2(x -x_2)^2 + \dots
$$
上式中各个系数求解得到即 \(A_0=y(x_0),A_n=\frac{1}{n!}y^{[n]}(x_0),n=1,2,\dots\)。当 \(x_0 = 0\) 时，这样的泰勒级数也称为马克劳林级数。
常见的泰勒展开式如下：
$$
\begin{aligned}
\cos x &= 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 + \dots \\
\sin x &= x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}^7 + \dots \\
e^x &= 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \dots
\end{aligned}
$$
1.5.2 矢量函数微商
标量与矢量的乘积为矢量，这一乘积对 \(t\) 求导可归结为矢量求导。
矢量 \(A(t)\) 与矢量 \(B(t)\) 的标积
$$
\mathbf A \cdot \mathbf B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z
$$
对 \(t\) 求导，为
$$
\frac{d(\mathbf A \cdot \mathbf B)}{dt} = \frac{d \mathbf A}{dt}\cdot \mathbf B + \mathbf A \cdot \frac{d \mathbf B}{dt}
$$
对与 \(A\) 与 \(B\) 的矢量积，利用矢量积的展开式可以得到
$$
\frac{d(\mathbf A \times \mathbf B)}{dt} = \frac{d \mathbf A}{dt} \times \mathbf B + \mathbf A \times \frac{d \mathbf B}{dt}
$$
1.6 积分
将 \(y\) 随 \(x\) 的变化关系和 \(y’\) 随 \(x\) 的变化关系分别记为 \(y = \mathbf F(x)\) 和 \(y’ = f(x)\)， 称 \(f(x)\) 是 \(F(x)\) 的导函数， \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数。
$$
y_2 - y_1 = \sum_{y_1}^{y_2} dy = \sum_{x_1}^{x_2} f(x) dx
$$
将从 \(x_1\) 到 \(x_2\) 的区间分割成无穷多个小间隔 \(dx\)，相应地 \(y_1\) 到 \(y_2\) 区间也分割为无穷多个无穷小量间隔 \(dy\)，并引入积分符号表示
$$
\int_{x_1}^{x_2}f(x) dx = \sum_{x_1}^{x_2} f(x) dx
$$
对于给定的 \(f(x)\) ，若能找到它的原函数 \(F(x)\)，便可获得上述定积分为
$$
\int_{x_1}^{x_2}f(x) dx = \mathbf F(x_2) - \mathbf F(x_1)
$$
由 \(f(x)\) 找 \(F(x)\) 的运算可对应表示为
$$
\int f(x) dx = F(x)
$$
称为 \(f(x)\) 的不定积分。不定积分是导数运算或者微商运算的逆运算。
1.7 多元函数微积分
多元函数是由多个独立自变量构成的函数，将 \(k\) 个自变量的多元函数书写成
$$
y = y(x_1, x_2, \dots， x_k)
$$
仅由自变量 \(x_1\) 的无穷小变化引起的函数增量
$$
y(x+dx_1, x_2, \dots, x_k) - y(x_1, x_2, \dots， x_k)
$$
称为函数对 \(x_1\) 的偏微分，将
$$
y’_{x_1} =y(x+dx_1, x_2, \dots, x_k) - y(x_1, x_2, \dots， x_k) / dx_1
$$
称为函数对 \(x_1\) 的偏导数，在形式上与一元函数导数有所区别，将它书写成
$$
y’_{x_1} = \frac{\partial y}{\partial x_1}
$$
以此类推可以得到对 \(x_i\) 的偏导数。
函数各自变量的变化引起的变化量称为全微分
$$
dy = \frac{\partial y}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \frac{\partial y}{\partial x_k}dx_k
$$
2. 质点运动学
一个物体如何运动，不讨论如何运动是指点运动学讨论的问题
运动：物体个点部位的位置随时间的变化。
1.1 空间与时间
1.1.1 空间
人类对空间的认识来源与物体在结构方面有前后、左右、上下三对可延展方向，物体运动也有这三对可移位的方向 \(\rightarrow\) 三维空间
绝对空间观：
- 存在没有物质的空间；
- 物质存在并且运动与这些空间内；
- 空间的的内在性质（三维欧几里得性质）与物质的存在运动与否无关。
相对论空间观：
- 设想不存在物体的空间是没有意义的；
- 真实空间是物体延展而成而且运动所在的空间；
- 真实空间的度量性质随测量者（其载体是物体）而异。
1.1.2 时间
时间观念的起源来自于物体运动形成的事物变化中状态出现的先后顺序性，时间即为此顺序性的量化表述。
绝对时间观：
- 存在着无事物演化的时间流失；
- 事物演化于该时间流逝中；
- 时间流逝的内在性质与事物的存在及演化的出现与否没有关系。
相对时间观：
- 设想讨论不存在事物演化的时间是没有意义的；
- 真实的时间是事物的演化表现的时间；
- 真实时间的度量随着测量者而异。
1.1.3 参考系
参考物：物体均处于相对运动状态之中, 最基本的运动关系便是两个物体之间的相对运动。
参考空间：参考物在体结构上静态延展而成的三维空间（三维平直空间）。
参考系：参考空间与时间的组合。
空间坐标系：用来标定空间点位置，例如，直角坐标系、柱坐标系、球坐标系。
质点模型：在参考系中，如果物体各个小部位截然不同，但其间差异相对考察的运动线度可忽略，便可用其中任意一点部位的运动来代表性的描述，这也可等效为将物体模型化为一个点。
质点运动学：质点运动的数学描述。
1.2 直线运动
1.2.1 位移 速度 加速度
质点相对于某参考系在一条直线上运动，在这一参考系中可将 \(x\) 坐标系设置在此直线上，质点运动过程中的位置 \(x\) 随时间 \(t\) 的变化关系表述成
$$
x = x(t)
$$
这称为直线的运动方程。
从 \(t\) 时刻，经过 \(\Delta t\) 时间质点的位置差，简称位移。
$$
\Delta x = x(t + \Delta t) - x(t)
$$
无穷小的时间间隔对应的位移式无穷小位移，记作 \(dx\)，有限段时间间隔 \(\Delta x\) 对应的位移 \(\Delta x\) 是一系列 \(dx\) 的叠加。
$$
\Delta x = \sum_{t}^{t + \Delta t} dx = \int_{t}^{t+\Delta t} dx
$$
路程 \(s\) 是另一个运动学量，意指 \(\Delta t\) 时间内质点经历的路线长度，计算公式为
$$
s = \sum_{t}^{t + \Delta t} |dx| = \int_{t}^{t+\Delta t} |dx|
$$
取无穷小时间间隔量 \(dt\) 对应的 \(v\)，这一平均速度称为瞬时速度，简称速度，记作
$$
v = \frac{dx}{dt}
$$
用加速度来描述速度的变化情况，定义为
$$
a = \frac{dv}{dt}
$$
